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积隙术和会圆术（第2页）

再割亦依此法，如圆径二十步求弧数，则当折半，乃所谓以圆径除之也。

）此二类皆造微之术，古书所不到者，漫志于此。

[1]

作品译文

算术中求物体体积的方法，如刍萌、刍童、方池、冥谷、堑堵、鳖臑、圆锥、阳马等，各种物体的形状都齐备了，唯独没有隙积这一种算法。

古代的算法，凡是计算物体的体积，有立方体，是指六个面都是正方形的物体。

它的计算方法是把一条边自乘两次就求得了。

有堑堵，是指像土墙一样的形状的物体，两个墙面是斜的，两头的面是直立的。

它的截面积的算法是把上、下底面的宽相加，除以二，作为截面的宽，用直高与它相乘即得。

再把直高作为股，用上底面的宽减去下底面的宽，得到的差数除以二作为勾，用勾股定理算出弦，就是它的斜边长。

有刍童，是说像倒扣在地上的斗那样的形状，四个侧面都是斜面。

它的计算方法是：把上底面的长乘以二，加下底面的长，再用上底面的宽乘它，把下底面的长乘以二，加上底面的长，再用下底面的宽乘它；加上这二项，用高乘它们，再取其六分之一，就得到了它的体积。

隙积是指体积有空隙的堆垛体，像垒起来的棋子、分层筑造的土坛和酒店里堆起的酒坛一类的东西。

它们虽然像倒扣的斗，四个侧面也都是斜的，但由于边缘有残缺和空隙的地方，如果用刍童法来算它，得出的数目常常比实际的少。

我想出了一种算法：用刍童法计算出它的上位、下位，再列出它的下底宽，减去上底宽，把这一差数乘以高，取其六分之一，并入前面的数目即可以了。

（如果有堆垛的酒坛子，最上层长、宽都是两只坛子，最下层长、宽都是十二只坛子，一层层相错开垛好。

先从最上层数起；数到有十二只坛子处，正好是十一层。

用刍童法来算，把上层的长乘以二得四，加下层的长得十六，用上层的宽来乘它，得三十二。

又把下层的长乘以二得二十四，加上上层的长得二十六，用下层的宽来乘它，得三百一十二。

上、下两位相加，得三百四十四，乘以高得三千七百八十四。

另外把下层的宽十二减去上层的宽，得十，与高相乘，得一百一十。

加上前面的数字得三千八百九十四。

取其六分之一，得六百四十九。

这就是酒坛子的数目。

用刍童法算出的是“实方”

的体积，用隙积法算出的是截剩部分拼合成的体积，可以求出多余的体积。

）丈量土地的算法，方、圆、曲、直的都有了，但没有会圆的算法。

凡是圆形土地，既能够拆开它，又必须使它合起来能恢复圆形。

古代的算法只是用“中破圆法”