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九章算术（第3页）

同时亦用形的直观来解释数的算法如对“开方”

“开立”

等为以图形作解释打下基础（实际的解释是刘徽完成的，在刘徽的注文中，更发展为“析理以释解体用图”

的系统方法。

数形结合的思想有助于数学的各个领域的融汇贯通，有助于发挥数学思维的整体性，使之更为深刻，灵活，是现代数学教学中强调的基本数学思想之一。

模型化思想

数学模型是为了解决现实世界问题而建立的，数学模型是人们认识原型的方式之一。

结合方程，构建数学模型数学应用问题是包含了一个或多个数量关系的具体情节或事件，解决数学应用问题的过程就是从情节中抽象并理顺数量关系的过程，方程是有效地表达、处理、交流和传递信息的工具，是反映客观事物数量变化规律的一种模型。

数学应用问题可以以方程为途径，构建数学模型来解决，在这种情况下所构建的就是方程模型。

《九章算术》做了许多属于建立和使用数学模型的工作。

它的“九章”

内至少有三章——盈不足、方程、勾股——提供的就是基本的数学模型。

[8]

相对关系

刘徽对数学概念的定义抽象而严谨。

他揭示了概念的本质，基本符合现代逻辑学和数学对概念定义的要求。

而且他使用概念时亦保持了其同一性。

如他提出凡数相与者谓之率，把率定义为数量的相互关系。

又如他把正负数定义为今两算得失相反，要令正负以名之，摆脱了正为余，负为欠的原始观念，从本质上揭示了正负数得失相反的相对关系。

《九章算术》的算法尽管抽象，但相互关系不明显，显得零乱。

刘徽大大发展深化了中算中久已使用的率概念和齐同原理，把它们看作运算的纲纪。

许多问题，只要找出其中的各种率关系，通过乘以散之，约以聚之，齐同以通之，都可以归结为今有术求解。

一平面（或立体）图形经过平移或旋转，其面积（或体积）不变。

把一个平面（或立体）图形分解成若干部分，各部分面积（或体积）之和与原图形面积（或体积）相等。

基于这两条不言自明的前提的出入相补原理，是中国古代数学进行几何推演和证明时最常用的原理。

刘徽发展了出入相补原理，成功地证明了许多面积、体积以及可以化为面积、体积问题的勾股、开方的公式和算法的正确性。

逻辑定义

刘徽对《九章算术》中的所有数学概念都做了解释或逻辑定义，在解释和定义中，他非常注意数学推理的逻辑性，充分考虑各问题之间的逻辑关系。

在“勾股”

章的注释中，明确指出：这一章之所以一开头就提出了勾股定理，是因为“将以施于诸率，故先具此术，以见其源也”

。

刘徽用这一精彩的论述，从“逻辑”

角度注释了勾股定理出现在“勾股”

章开头的必要性。

刘徽认为有些问题不能只限于感性认识，必须在感性认识的基础上提升到理性认识的层面，并在理性认识的基础上形成数学理论。

因而，他从逻辑严谨性出发，对于那些能从逻辑上证明的法则都进行了论证。

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