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九章算术（第4页）

算术

（1）、在算术方面的主要成就有分数运算、比例问题和“盈不足”

算法。

《九章算术》是世界上最早系统叙述了分数运算的著作，在第二、三、六章中有许多比例问题，在世界上也是比较早的。

“盈不足”

的算法需要给出两次假设，是一项创造，中世纪欧洲称它为“双设法”

，有人认为它是由中国经中世纪阿拉伯国家传去的。

《九章算术》中有比较完整的分数计算方法，包括四则运算，通分、约分、化带分数为假分数（中国古代称为通分内子，“内”

读为纳）等等。

其步骤与方法大体与现代的雷同。

分数加减运算，《九章算术》已明确提出先通分，使两分数的分母相同，然后进行加减。

加法的步骤是“母互乘子，并以为实，母相乘为法，实如法而一”

这里“实”

是分子。

“法”

是分母，“实如法而一”

也就是用法去除实，进行除法运算，《九章算术》还注意到两点：其一是运算结果如出现“不满法者，以法命之”

。

就是分子小于分母时便以分数形式保留。

其二是“其母同者，直相从之”

，就是分母相同的分数进行加减，运算时不必通分，使分子直接加减即可。

《九章算术》中还有求最大公约数和约分的方法。

求最大公约数的方法称为“更相减损”

法，其具体步骤是“可半者半之，不可半者，副置分母子之数，以少减多，更相减损，求其等也。

以等数约之。”

这里所说的“等数”

就是最大公约数。

可半者是指分子分母都是偶数，可以折半的先把它们折半，即可先约去2。

不都是偶数了，则另外摆（即副置）分子分母算筹进行计算，从大数中减去小数，辗转相减，减到余数和减数相等，即得等数。

在《九章算术》的第二、三、六等章内，广泛地使用了各种比例解应用问题。

粟米章的开始就列举了各种粮食间互换的比率如下：“粟米之法：粟率五十，粝米三十，粺米二十七，糳米二十四，……”

这是说：谷子五斗去皮可得糙米三斗，又可舂得九折米二斗七升，或八拆米二斗四升，……。

例如，粟米章第一题：“今有粟米一斗，欲为粝米，问得几何”

。

它的解法是：“以所有数乘所求率为实，以所有率为法，实如法而一”

。

《九章算术》第七章“盈不足”

专讲盈亏问题及其解法其中第一题：“今有（人）共买物，（每）人出八（钱），盈（余）三钱；人出七（钱），不足四（钱），问人数、物价各几何”